知识点
第三单元 长方体和正方体
1、长方体或正方体的认识
①一般是由 6 个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。
两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。
相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。
判断：长方体的三条棱分别叫做长方体的长宽高。 （ × ）
长方体特点：有 6 个面（ 6 个面都是长方形或者 4 个面是长方形 ,2 个面是正方形） ，8 个顶点， 12 条棱，相对
的面的面积相等，相对的棱的长度相等。
一个长方体（不含正方体）最多有 6 个面是长方形，最少有 4 个面是长方形，最多有 2 个面是正方形。最多
有 4 个面完全相同。 用 6 个完全一样的长方形可以围成一个长方体（ × ）。
长方体 12 条棱可以分成 3 组，分别有 4 条长、 4 条宽、 4条高。
②由 6 个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体） 。
正方体特点：正方体有 12 条棱，它们的长度都 相等 。有 8 个顶点。
正方形的 6 个面是完全相同的正方形。
正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种 特殊的长方体 。
3、比较
相同点
不同点
面 棱
长方体 都有 6 个面，
12 条棱，8 个顶
点。
6 个面都是长方形。
（有可能有两个相对的面是正方形） 。
相对的棱的长度都相等
正方体 6 个面都是正方形。 12 条棱都相等。
4、 长方体、正方体有关棱长计算公式：
长方体的棱长总和 =（长+宽+高）× 4＝长 ×4+宽×4+高×4 L=（a＋b＋h）× 4
长= 棱长总和÷ 4－宽 －高 a=L÷4－b－h
宽= 棱长总和÷ 4－长 －高 b=L÷4－a－h
高= 棱长总和÷ 4－长 －宽 h=L÷4－a－b
正方体的棱长总和 =棱长× 12 L=a×12
正方体的棱长 =棱长总和÷ 12 a=L÷12
例 1、如图，有一个长 5 分米、宽和高都是 3 分米的长方体硬纸箱，如果用绳子将箱子横着捆两道，长着捆一道，打结
处共用 2 分米。一共要用绳子多长？
2、一盒饼干长 20 厘米，宽 15 厘米，高 30 厘米，现在要在它的四周贴上商标纸， 这张商标纸的面积是多少平方厘米？
2、长方体或正方体的表面积
表面积的意义：长方体或者正方体的 6 个面的总面积，叫做它的表面积。
长方体表面积的计算方法。
长方体表面积 =（长×宽 +长×高 +宽×高）× 2，用字母表示为 S=2（ab+ah+bh）；
长方体的表面积 =长×宽× 2+长×高× 2+宽×高× 2；用字母表示为： S=2ab+2ah+2bh.
无底（或无盖）长方体表面积 = 长×宽＋（长×高＋宽×高）× 2
S=2（ab＋ah＋bh）－ ab S=2（ah＋bh）＋ab
4
无底又无盖长方体表面积 =（长×高＋宽×高）× 2 S=2（ah＋bh） 贴墙纸
正方体表面积的计算方法：正方体的表面积 =棱长×棱长× 6 S=a×a×6 用字母表示： S= 6a2
生活实际：油箱、罐头盒等都是 6 个面 游泳池、鱼缸等都只有 5 个面 水管、烟囱等都只有 4 个面。
注意 1：用刀分开物体时，每分一次增加两个面。 （表面积相应增加）
如：一根长方体木料， 长 1.5 米，宽和厚都是 2 分米， 把它锯成 4 段，表面积最少增加 （ ）平方分米． ①8 ②16 ③ 24 ④32
注意 2：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大（或缩小）几倍，表面积会扩大（或缩小）倍数的平方倍。如长、
宽、高各扩大 3 倍，表面积就会扩大到原来的 9 倍。
长、宽、高各缩小 3 倍，表面积就会缩小到原来的 1 / 9。 3、长方体和正方体的体积 （1） 体积的意义：物体所占空间的大小叫做物体的体积。 （2） 体积单位：立方米，立方分米，立方厘米；用字母表示为 m3，dm3，cm3。 体积相邻单位间的进率是 1000：1m3=1000dm3 1dm3=1000cm3
（3）长方体的体积 = 长×宽×高 V=abh
长= 体积÷宽÷高 a=V÷b÷h
宽= 体积÷长÷高 b=V÷a÷h
高= 体积÷长÷宽 h= V÷a÷b
正方体的体积 = 棱长×棱长×棱长 V=a×a×a = a3 读作“ a 的立方”
表示 3 个 a相乘，（即 a·a·a）
某纸盒厂生产一种正方体纸板箱，棱长 40 厘米，它的体积是多少立方厘米？合多少立方分米？
长方体的长为 12 厘米，高为 8 厘米，阴影部分的两个面的面积和是 200 平方厘米， 这个长方体的体积是多少立方厘米？
长方体的长是 6 厘米，宽是 4 厘米，高是 2 厘米，它的棱长总和是（ ）厘米，六个面中最大的面积是（ ）平方
厘米，表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米．
将一个正方体钢坯锻造成长方体，正方体和长方体 （体积相等，表面积不相等 ）．
表面积相等的长方体和正方体的体积相比，（ 1）．①正方体体积大 ②长方体体积大 ③相等
体积相等的长方体和正方体的表面积相比，（ 2）．①正方体表面积大 ②长方体表面积大 ③相等
（4）底面积
长方体或正方体底面的面积叫做底面积。 （横截面积相当于底面积，长相当于高） 。
长方体的体积 = 长×宽×高 = 底面积×高 正方体的体积 = 棱长×棱长×棱长
底面积 = 横截面面积×长 底面积 所以，长（正）方体的体积用字母表示： V=S h
如： 1、表面积是 54 平方厘米的正方体，它的体积是（ ）立方厘米．
5
2、把一块棱长是 20 厘米的正方体钢坯，锻造成底面积是 16 平方厘米的长方体钢材，长方体钢材长多少厘米？
注意：一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，但体积不一定相等。
长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍。如长、宽、高各扩大 2 倍，体积就
会扩大到原来的 8 倍。
正方体的棱长扩大 2 倍，则体积扩大（ ）倍． ①2 ②4 ③6 ④8
(5) 体积单位间的进率： 1m3=1000dm 3 1dm3=1000cm3
(6) 容积和容积单位：箱子、油桶、仓库等（容器）所能 容纳 物体的体积，通常叫做他们的容积。
计量容积，一般就用体积单位。计量液体的体积，如水、油等，单位升或毫升，常用的容积单位有升和毫升，也
可以写成 L 和 ml。
1 升=1 立方分米 1 毫升 =1 立方厘米 1 升=1000 毫升
（1 L = 1 dm3 1 ml = 1 cm3 1 L = 1000 ml ）
长方体或正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同。但要从容器里面量长、宽、高。 （所以， 对于同一
个物体，体积大于容积。 ）
长方体的体积就是长方体的容积． （ ）
一个菜窖能容纳 6 立方米白菜，这个菜窖的（ ② ）是 6 立方米． ①体积 ②容积 ③表面积
一块长 40 厘米、宽 30 厘米的长方形铁板，把它的四个角分别切掉边长为 4 厘米的正方形，然后焊接成一个
无盖的盒子。它的表面积是多少？容积是多少升？
* 形状不规则的物体可以用 排水法 求体积，形状规则的物体可以用公式直接求体积。
排水法的公式： V 物体 =V 现在－ V 原来
也可以 V 物体 =S×(h 现在- h 原来 ) V 物体 = S×h 升高
（7）、【体积单位换算】 大单位 小单位
小单位 大单位
进率： 1 立方米＝ 1000 立方分米＝ 1000000 立方厘米 （体积相邻单位进率 1000）
1 立方分米＝ 1000 立方厘米＝ 1 升＝ 1000 毫升
1 立方厘米＝ 1 毫升 1 平方米 =100 平方分米 =10000 平方厘米 1平方千米 =100 公顷=1000000 平方米
注意：长方体与正方体关系 把长方体或正方体截成若干个小长方体（或正方体）后，表面积增加了，体积不变。
【单位换算】 重量单位进率，时间单位进率，长度单位进率。
长度单位： 1 千米 =1000 米 1 分米=10 厘米 1厘米 =10 毫米 1 分米=100 毫米
1 米=10 分米 =100 厘米 =1000 毫米 （相邻单位进率 10）
面积单位： 1 平方千米 =100 公顷 1 公顷=10000 平方米
1 平方米 =100 平方分米 1 平方分米 =100 平方厘米 （面积相邻单位进率 100）
质量单位： 1 吨=1000 千克 1 千克 =1000 克
人 民 币： 1 元=10 角 1 角=10 分 1 元=100 分
